Persamaan Garis Singgung

MATEMATIKA : Sulit digenggam tanpa wawasan luas, dan tak lepas  bila sudah dimiliki yap begitulah matematika

Soal dan pembahasan Persamaan garis singgung

Jika kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan

m = f’ (x1)

Sementara x1 dan y1  memiliki hubungan

y1 = f(x1)

Sementara itu persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan

y - y1 = m(x - x1)

Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 - 6x di titik (3, 9)

Jawab :

f(x) = x3 - 6x

f '(x) = 3x2 - 6

m = f '(3) = 27 - 6 = 21

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y - y1 = m(x - x1)

y - 9 = 21 (x - 3)

y - 9 = 21x - 63

y = 21x - 54

Contoh 2 :

Persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 7x2 + 20  di titik yang berabsis 2 adalah

Jawab :

x = 2

y = x4 - 7x2 + 20 = y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8

m =y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y - y1 = m(x - x1)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x

Contoh 3 :

Persamaan garis singgungpada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 adalah ....

Jawab :

Ordinat adalah nilai y, maka 

y = 18

x3 + 10 = 18

x3 = 8

x = 2

m = y' = 3x2 = 3.22 = 12

Persamaan garis singgungnya adalah 

y - y1 = m(x - x1)

y - 18 = 12(x - 2)

y - 8 = 12x - 24

y = 12x - 16

Contoh 4 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - x + 3 di titik yang berordinat 5

Jawab :

ordinat = 5

y = 5

x2 - x + 3 = 5

x2 - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

x = 2 atau x = -1 

Untuk x = 2 maka

m = 2x - 1 = 4 - 1 = 3

y - y1 = m(x - x1)

y - 5 = 3(x - 2)

y - 5 = 3x - 6

y = 3x - 1

Untuk x = -1

m = 2x - 1 = -2 - 1 = -3

y - y1 = m(x - x1)

y - 5 = -3(x + 1)

y - 5 = -3x - 3

y = -3x + 2

Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2

Contoh 5 :

Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 - 5x2 + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :

ordinat = 6

x4 - 5x2 + 10 = 6

x4 - 5x2 + 4 = 0

(x2 - 1)(x2 - 4) = 0

(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0

x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1

m = 4x3 - 10x = -4 + 10 = 6

y - y1 = m(x - x1)

y - 6 = 6(x + 1)

y - 6 = 6x + 6

y = 6x + 12

Untuk x = 1

m = 4x3 - 10x = 4 - 10 = -6

y - y1 = m(x - x1)

y -  6 = -6(x - 1)

y - 6 = -6x + 6

y = -6x + 12

Untuk x = -2

m = 4x3 - 10x = 4(-2)3 - 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12

y - y1 = m(x - x1)

y - 6 = -12(x + 2)

y - 6 = -12x - 24

y = -12x - 18

Untuk x = 2

m = 4x3 - 10x = 4.23 - 10.2 = 4.8 - 20 = 32 - 20 = 12

y - y1 = m(x - x1)

y - 6 = 12(x - 2)

y - 6 = 12x - 24

y = 12x - 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x - 18 dan y = 12x – 18

Contoh 6 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 - 100x yang bergradien 8

Jawab :

m = 8

y' = 8

4x3 - 100 = 8

4x3 = 108

x3 = 27

x = 3

y = x4 - 100x = 81 - 300 = - 219

Persamaan garisnya adalah :

y - y1 = m(x - x1)

y + 219 = 8(x - 3)

y + 219 = 8x - 24

y = 8x - 243

Contoh 7 :

Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x4 - 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :

y = 3x4 - 20

y' = 12x3

Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah

y = 12x + 8

maka gradien garis ini adalah m1 = 12

Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m2) adalah

m2 = m1 = 12

gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga

y' = 12

12x3 = 12

x3 = 1

x = 1

maka y = 3x4 - 20 = 3 - 20 = - 17

Persamaan garis singgungnya adalah

y - y1 = m(x - x1)

y + 17 = 12(x - 1)

y + 17 = 12x - 12

y = 12x - 29